亦寒疏

解三角形

冷亦寒 三角形数学

解三角形

一,定义

一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素。

已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。

解三角形,常用到正弦定理和余弦定理和面积公式等。

三角函数图

二,常用公式

1,正弦定理

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(2R在同一个三角形中是恒量,R是此三角形外接圆的半径)。

变形公式

(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC (2)sinA:sinB:sinC=a:b:c (3)asinB=bsinA,asinC=csinA,bsinC=csinB (4)sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R

面积公式

(5)S=1/2bcsinA=1/2acsinB=1/2absinC S=1/2底·h(原始公式)

2,余弦定理

a²=b²+c²-2bccosA
b²=a²+c²-2accosB
c²=a²+b²-2abcosC

变形公式

*cos*C=(a²+b²-c²)/2ab

*cos*B=(a²+c²-b²)/2ac

*cos*A=(c²+b²-a²)/2bc

3,其他定理

三角形△的内角平分线的性质定理

AD为角A平分线与BC交点连线则AB/AC=BD/DC

海伦-秦九韶公式

p=(a+b+c)/2(公式里的p为半周长)

假设有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得:

S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

已知三条中线求面积

方法一:已知三条中线Ma,Mb,Mc,

则S=√[(Ma+Mb+Mc)(Mb+Mc-Ma)(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3 ;

方法二:已知三边a,b,c ;

则S= √[p(p-a)(p-b)(p-c)];其中:p=(a+b+c)/2 ;

三,形状判断

b²+c²=a² cosA=0 A=90° 直角
b²+c²<a² cosA<0 A>90° 钝角
b²+c²>a² cosA>0 A<90° 锐角 ※a边必须是最大边

勾股定理(余弦定理的特殊情形)

勾股定理只适用于直角三角形(外国叫“毕达哥拉斯定理“)

a²+b²=c², 其中a和b分别为直角三角形两直角边,c为斜边。

勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。比如:3,4,5。他们分别是3,4和5的倍数。

常见的勾股弦数有:3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25;10,24,26等等。

冷亦寒
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